Numerieke benadering van de stromingsvergelijkingen

Grid

Om de waterstroming numeriek te benaderen, wordt in het model definitie Model een grid gemaakt. Dit betekent dat het ruimtelijke domein (1D, 2D of 3D) en het temporele domein worden opgesplitst in kleinere eenheden (elementen). Hoe het grid eruitziet, is afhankelijk van de gekozen numerieke methode. Een ruimtelijk gelijkmatig grid treffen we aan bij de zogenoemde 'eindige differentie'-methoden (finite difference), ongelijkmatige (driehoekige) grids worden vaak toegepast bij de 'eindige elementen'-methoden (finite elements). 

De partiële differentiaalvergelijkingen worden 'vertaald' in een stelsel van discrete vergelijkingen die voor de elementen in de grid de waterstanden en stroomsnelheden numeriek benaderen. Dit stelsel van vergelijkingen heet het numerieke schema. Hoe fijner het grid, hoe groter het stelsel van vergelijkingen. 

Voorwaarden numerieke benadering

Een numerieke benadering moet aan enkele voorwaarden voldoen:

• Een belangrijke eis is dat een numeriek schema convergent is. Dat wil zeggen dat de oplossing van het numerieke schema nadert naar de theoretische oplossing van de partiële differentiaalvergelijkingen als de stapgrootte van het grid klein genoeg wordt (voor de meeste numerieke schema's: nadert naar 0). Dus bij het verkleinen van de tijdstap convergeert de oplossing naar de 'juiste' waarde. 
• Voor stapgrootten groter dan 0 moet de fout van een numeriek schema ten opzichte van de theoretische oplossing van de partiële differentiaalvergelijkingen zo klein mogelijk zijn, de numerieke benadering is accuraat ofwel nauwkeurig.
• Ook is het van belang dat de fout bij het doorrekenen van meerdere opeenvolgende stappen niet 'opblaast', de numerieke benadering moet stabiel zijn. Instabiliteiten komt in de praktijk regelmatig voor (zie Stabiliteit). 
• Soms treden verschijnselen in de rekenresultaten op die lijken op de uitkomst van een fysiek proces, maar die in werkelijkheid het gevolg zijn van de numerieke benadering (spurious roots). Numerieke dispersie is een voorbeeld waarbij het numerieke schema de berekende voortplanting van een watergolf door een watergang beïnvloedt. Deze ongewenste bijeffecten van het numerieke schema kunt u soms vermijden door het kiezen van een andere numerieke methode. 
• Verder moet  het doorrekenen van de set discrete vergelijkingen (op een computer) zo efficiënt mogelijk en binnen een aanvaardbare rekentijd gebeuren. Een fijner grid (dus kleinere ruimtetijdstap) en een kleinere tijdstap leiden tot nauwkeuriger uitkomsten, maar ook tot een langere rekentijd. 

Numeriek schema kiezen

Deze verschillende eisen leiden ertoe dat u voor het doorrekenen van verschillende situaties verschillende discretisaties en numerieke schema's kunt gebruiken. In de documentatie van de software voor hydraulische simulaties kunt u de wijze van discretisatie en het numerieke schema terugvinden. U kunt in de rekensoftware soms ook uit meerdere opties kiezen. Wanneer u niet bekend bent met de voor- en nadelen van verschillende numerieke benaderingen, kunt u het best de standaardinstellingen gebruiken. Binnen een berekening kunnen bijzondere situaties of overgangen voorkomen, zoals een leiding die droogvalt of de overgang van een vrije oppervlakstroming naar een stroming onder druk. Veel software kan de berekeningswijze in zo'n situatie (automatisch) aanpassen.

Literatuur

De literatuur op het gebied van de numerieke hydrodynamica is omvangrijk. Deze informatie valt buiten het bestek van de Kennisbank. Wilt u meer weten over de grondbeginselen van dit vakgebied, dan kunt u bijvoorbeeld Computational Hydraulics (Abbott, 1979) of On the Construction of Computational Methods for Shallow Water Flow Problems (Stelling, 1983) lezen.